Question

5．已知⊙O的半径是rcm，则其圆内接正六边形的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r²cm²．

Answer 1

分析 设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．

解答 解：如图所示：
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=rcm，
则△OAB是正三角形，
∴AB=OA=rcm，
OC=OA•sin∠A=r×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r（cm），
∴S_△OAB=AB•OC=$\frac{1}{2}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$r²（cm²），
∴正六边形的面积=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r²（cm²）．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r²．

点评 本题考查的正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．