Question

17．如图，已知等边△ABC的边上为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：①DE=1；②△CDE∽△CAB；③BC边上的高为$\sqrt{3}$；④△CDE的面积与四边形ADEB的面积之比为1：3，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据图形，利用三角形中位线定理，可得DE=1，①成立；DE是△CAB的中位线，可得DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得△CDE∽△CAB；②成立；BC边上的高，可利用勾股定理求出等于$\sqrt{3}$；③成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它们的面积比等于相似比的平方，就等于1：4，于是得到△CDE的面积与四边形ADEB的面积之比为1：3，（4）也成立．

解答 解：∵DE是它的中位线，∴DE=$\frac{1}{2}$AB=1，故①正确，
∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故（3）正确，
∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，故（4）正确，
∵等边三角形的高=边长×sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，故（2）正确．
故选D．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥BC．