Question

9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．
（1）如图1，若AB=5$\sqrt{2}$，求BC的长；
（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．
①如图2，当点E在AC边上时，求证：CE=2BD；
②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出$\frac{AB}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在Rt△ABH，Rt△AHC中求出BH、HC，即可得到BC的长；
（2）如图2中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，由△ABD≌△APE，可得BD=PE，再利用30度角直角三角形性质即可得到CE=2BD；
（3）如图3中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M，则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可得出$\frac{AB}{CE}$的值．

解答 解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB中，∵AB=5$\sqrt{2}$，∠B=45°，
∴BH=ABcosB=5，AH=ABsinB=5，
在Rt△AHC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=10，CH=ACcosC=5$\sqrt{3}$，
∴BC=BH+CH=5+5$\sqrt{3}$；

（2）①证明：如图2，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，则∠BAP=90°，∠APB=45°，
由旋转可得，AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAP=90°=∠DAE，
∴∠BAD=∠PAE，
∵∠B=∠APB=45°，
∴AB=AP，
在△ABD和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AP}\\{∠BAD=∠PAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△APE，
∴BD=PE，∠B=∠APE=45°，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2PE，
∴CE=2BD；

②如图3，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M，则AP=PC，
在Rt△AHC中，∵∠ACH=30°，
∴AC=2AH，
∴AH=AP，
在Rt△AHD和Rt△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AP}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△APE（HL），
∴∠DAH=∠EAP，
∵EM⊥AC，PA=PC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠EAM=$\frac{1}{2}$∠DAE=45°，
∴∠DAH=∠EAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH-∠DAH=30°，
如图3，作DK⊥AB于K，
设BK=DK=a，则AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{a+\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵AE=CE=AD，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、含30°角直角三角形的性质、线段垂直平分线性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊直角三角形，学会设参数解决问题．