Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，-1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．
（1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；
（2）如图2，点B在x轴的正半轴上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方，∠D=90°，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式；
（3）如图3，四边形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，点E在AC的上方，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点E的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，从而判断出∠ABD=∠OBC即可；
（2）过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC=90°，AD=CD，∠CDG=∠DAH，从而得到△AHD≌△DGC（AAS），根据DH=CG=OH，点D的坐标为（x，y），得出y与x之间的关系是y=x；
（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC=∠COA=90°，再利用正方形的性质即可得出△EMC≌△COA（AAS），得到MC=OA=1，EM=OC，EM=OC=x+1，进而得出y与x之间的关系是y=x+1．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC；            
 
（2）如图，过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G．
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∵在△AHD和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠CGD}\\{∠CDG=∠DAH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△DGC（AAS），
∴DH=CG=OH，
∵点D的坐标为（x，y），
∴y与x之间的关系是y=x；

（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC=∠COA=90°，
∵四边形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，
∴AC=CE，∠ACO+∠ECO=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ECO=∠CAO，
在△EMC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠COA}\\{∠ECO=∠CAO}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△EMC≌△COA（AAS），
∴MC=OA=1，EM=OC，
∵点E的坐标为（x，y），
∴EM=OC=x+1，
∴y与x之间的关系是y=x+1．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合应用，解本题的关键是判定三角形全等，根据全等三角形的对应边相等进行推导．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解．