Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，4），点B（4，0），点C（1，0）．
（1）点D为射线CO上的一动点，若△DAB为等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
（2）在y轴上，是否存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在y轴上，是否存在一点F，使得△FAB的周长最小？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A，B，C坐标，求出AC与BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，如图1所示，分三种情况考虑：若AB=AD′=5；若BD=AB=5；若AD″=BD″，分别求出D坐标即可；
（2）在y轴上，存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等，理由为：由（1）得直线AB对应的函数关系式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，过点C作直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，设出CE解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+c，把C坐标代入求出c的值，确定出CE解析式，求出CE与x轴的交点坐标E坐标；同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，求出E坐标，综上，得到满足题意E坐标即可；
（3）在y轴上，存在一点F，使得△FAB的周长最小，作出A关于y轴的对称点A₁，连接BA₁，与y轴交于点F，此时AF+BF最小，即△FAB的周长最小，求出直线CF解析式，确定出直线CF与y轴交点坐标即为F坐标．

解答 解：（1）∵A（1，4），B（4，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=3，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
如图1所示，分三种情况考虑：

若AB=AD′=5，由对称性得到D′（-2，0）；
若BD=AB=5，可得OD=BD-OB=5-4=1，即D（-1，0）；
若AD″=BD″，此时D″为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，
设直线AB解析式为y=mx+n，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{4}{3}$，n=$\frac{16}{3}$，即AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
由A（1，4），B（4，0）得到线段AB中点坐标为（$\frac{5}{2}$，2），
∴线段AB垂直平分线方程为y-2=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，得到x=-$\frac{1}{6}$，即D″（-$\frac{1}{6}$，0），
综上，D的坐标为（-1，0）或（-2，0）或（-$\frac{1}{6}$，0）；
（2）在y轴上，存在一点E，使得△EAB的面积△CAB的面积相等，理由为：
由（1）得直线AB对应的函数关系式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
过点C作直线AB的平行线，交y轴于点E，如图2所示，

设直线CE的函数关系式为y=-$\frac{4}{3}$x+c，
∵点C在直线CE上，
∴把C（1，0）代入得：0=-$\frac{4}{3}$×1+c，
解得：c=$\frac{4}{3}$，
∴点E的坐标为（0，$\frac{4}{3}$），
同理，过点（7，0）作直线AB的平行线，得点E的坐标为（0，$\frac{28}{3}$），
综上，存在点E，且点E的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，$\frac{28}{3}$）；
（3）在y轴上，存在F，使得△FAB的周长最小，
如图3所示，点A关于y轴的对称点A₁的坐标为（-1，4）．连接A₁B交y轴于点F，连接AF，此时△FAB的周长最小，

设直线A₁B的函数关系式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=4m+n}\\{4=-m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{5}}\\{n=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线A₁B的函数关系式为y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
则点F的坐标为（0，$\frac{16}{5}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质坐标与图形性质，对称的性质，以及平行线的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．