Question

8．如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=$\frac{3}{5}$AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是$\frac{32}{9}$．

Answer 1

分析 连接OF，OE，得到正方形A′FOE，设BE=3x，AE=5x，得到OE=OC=5x，OB=4-5x，根据勾股定理列方程即可得到结果．

解答 解：设⊙O与A′D′相切于点F，
连接OF，OE，
则OF⊥A′D′，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=A′=90°，
由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，
∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，
∴∠OEA′=∠B=90°，
∵OE=OF，
∴四边形A′FOE是正方形，
∴A′E=AE=OE=OC，
∵BE=$\frac{3}{5}$AE，
设BE=3x，AE=5x，
∴OE=OC=5x，
∵BC=AD=4，
∴OB=4-5x，
在R_tBOE中，OE²=BE²+OB²，
∴（5x）²=（3x）²+（4-5x）²，
解得：x=$\frac{4}{9}$，x=4（舍去），
∴AB=8x=$\frac{32}{9}$．
故答案为：$\frac{32}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的性质，图形的变换-折叠，作辅助线得到四边形A′FOE是正方形是解题的关键．