Question

6．已知m=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，n=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，求下列各式的值：
（1）m²-n²；
（2）m²+n²；
（3）$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$；
（4）m²+n²-3mn．

Answer 1

分析 （1）把m，n的值代入代数式，利用二次根式的性质化简，即可解答；
（2）把m，n的值代入代数式，利用二次根式的性质化简，即可解答；
（3）把m，n的值代入代数式，利用二次根式的性质化简，即可解答；
（4）把m，n的值代入代数式，利用二次根式的性质化简，即可解答．

解答 解：（1）原式=$（\frac{1}{\sqrt{2}-1}）^{2}-（\frac{1}{\sqrt{2}+1}）^{2}$=$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}-\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}-（3-2\sqrt{2}）}{（3-2\sqrt{2}）（3+2\sqrt{2}）}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9-8}=4\sqrt{2}$；
（2）原式=$（\frac{1}{\sqrt{2}-1}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{2}+1}）^{2}$=$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}}{（3-2\sqrt{2}）（3+2\sqrt{2}）}$=$\frac{6}{9-8}$=6．
（3）原式=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}{\frac{1}{\sqrt{2}+1}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{2}+1}}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}$=$\frac{3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}}{2-1}$=6．
（4）原式=6-3×$\frac{1}{\sqrt{2}-1}×\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=6-3×1=3．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．