Question

5．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=2x-4上运动．
（1）若点B的坐标是（1，-2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y=2x-4的交点在第一象限，求m的取值范围．
（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．
（3）在直线CD上找一点P，使△APC成等腰三角形．求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、点B的坐标代入，运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x-1，再根据平移的规律得出把直线AB向上平移m个单位后的解析式y=-x+m-1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，求出交点坐标为（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{2m-6}{3}$），然后根据第一象限内点的坐标特征列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+3}{3}＞0}\\{\frac{2m-6}{3＞0}}\end{array}\right.$，解不等式组即可；
（2）根据垂线段最短可知，AB最短时有AB⊥CD，由互相垂直的两条直线的斜率之积为-1，可设此时直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，将A（-1，0）代入，求出直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，即可求出B点坐标；
（3）需要分类讨论：AP=PC，AC=AP，AC=PC三种情况下的点P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标是（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x-1，
把直线AB向上平移m个单位后得y=-x+m-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m-1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{2m-6}{3}}\end{array}\right.$，
即交点为（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{2m-6}{3}$）．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+3}{3}＞0}\\{\frac{2m-6}{3＞0}}\end{array}\right.$，
解得m＞3；

（2）如图，AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，
将A（-1，0）代入，得0=-$\frac{1}{2}$×（-1）+n，
解得n=-$\frac{1}{2}$．
即直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{5}}\\{y=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
所以B点坐标为（$\frac{7}{5}$，-$\frac{6}{5}$）；

（3）设P（x，2x-4）（0＜x＜2）．由y=2x-4易得C（2，0）．
①当AP=PC时，点P是线段AC的中垂线与线段CD的交点，
∵（-1，0），C（2，0），
∴此时x=$\frac{1}{2}$，则2x-4=-3，即P（$\frac{1}{2}$，-3）；
②当AC=AP=3时，（-1-x）²+（2x-4）²=9，
整理，得
5x²-14x-8=0，
解得x₁=$\frac{7+\sqrt{89}}{5}$（舍去），x₂=$\frac{7-\sqrt{89}}{5}$（舍去），
则AC=AP=3不符合题意；
③当AC=PC=3时，x²+（2x-4）²=9，
解得x₁=$\frac{8+3\sqrt{11}}{5}$（舍去），x₂=$\frac{8-3\sqrt{11}}{5}$，
则P（$\frac{8-3\sqrt{11}}{5}$，-$\frac{4+6\sqrt{11}}{5}$）；
综上所述，符合条件点P的坐标是（$\frac{1}{2}$，-3）或（$\frac{8-3\sqrt{11}}{5}$，-$\frac{4+6\sqrt{11}}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换，运用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强．对于（3）题，没有指明该等腰三角形的底边或腰，必须分类讨论；另外，还需要注意x的取值范围．