Question

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠C=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；

（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能推出△ACD≌△AED和求出∠B=30°是解此题的关键．