Question

18．如图，抛物线y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．．

Answer 1

分析 由题意得出A、B、C的坐标，BM=2，对称轴x=1，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，再由三角函数分别求出DM即可．

解答 解：如图所示：
∵抛物线y=-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当-$\sqrt{3}$（x+1）（x-3）=0时，x=-1，或x=3，
当x=0时，y=3$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），对称轴x=1，
∴BM=3-1=2，
当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，
①点D在∠ABC的平分线上时，
∵tan∠ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BM=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴D（1，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）；
②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°-60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴DM=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，
∴D（1，-2$\sqrt{3}$）；
故答案为：$（1，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$或$（1，-2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、角平分线的判定、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握抛物线与x轴的交点、角平分线的判定是解决问题的关键．