Question

10．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂），若a=|x₁-x₂|，b=|y₁-y₂|，则记作（P，Q）→{a，b }．
（1）已知（P，Q）→{a，b }，且点P（1，1），点Q（4，3），求a，b的值；
（2）点P（0，-1），a=2，b=1，且（P，Q）→{a，b }，求符合条件的点Q的坐标；
（3）⊙O的半径为$\sqrt{5}$，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义即可解决问题．
（2）利用定义，列出绝对值方程即可解决问题．
（3）由题意可以假设直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，①当直线PQ与⊙O相切，切点为P时，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，求出直线PQ的解析式，利用方程组即可求出点Q坐标．②当直线P′Q′与⊙O相切，切点为P′时，求出直线P′Q′的解析式，列方程组即可求出点Q坐标．由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵点P（1，1），点Q（4，3），
∴a=|1-4|=3，b=|1-3|=2．

（2）设Q（m，n），
由题意|m-0|=2，|n-1|=1，
∴m=±2，n=2或0，
∴点Q坐标为（-2，0）或（-2，-2）或（2，0）或（2，-2）．

（3）如图，

∵⊙O的半径为$\sqrt{5}$，点P在⊙O上，点Q（m，n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$上，若（P，Q）→{a，b }，且a=2k，b=k （k＞0），
∴可以假设直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，（点P、点Q的横坐标的差的绝对值是纵坐标差的绝对值的两倍，点P不可能在直线AB上，所以直线线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b）
①当直线PQ与⊙O相切，切点为P时，在Rt△PCO中，OP=$\sqrt{5}$，tan∠PCO=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2$\sqrt{5}$，
∴CO=$\sqrt{P{C}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴C（-5，0），
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即Q（2，$\frac{7}{2}$），
②当直线P′Q′与⊙O相切，切点为P′时，同理可得直线P′Q′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=1}\end{array}\right.$，即Q′（7，1）
∴满足条件的点Q的横坐标m的范围是2≤m≤7．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、切线的性质、勾股定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．