分析 （1）分两种情况：①当射线OD在∠BOC的内部时，利用∠BOE-∠BOD来计算∠DOE的度数；②当射线OD在∠AOC的内部时，利用∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，代入计算即可；
（2）根据角平分线的性质得到∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，然后根据角的和差即可得到结论；
（3）①当∠BOB1＜90°时，②当∠BOB1＞90°时，列方程即可得到结论．
解答 
解（1）分两种情况：
①当射线OD在∠BOC的内部时，如图1所示，
∵OE平分∠AOB，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∠AOB=150°，
∴∠BOE=75°，
又∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC，且∠BOC=60°，
∴∠BOD=$\frac{2}{3}$∠BOC=$\frac{2}{3}$×60°=40°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=75°-40°=35°； 
②当射线OD在∠AOC的内部时，
如图2所示，同理得：∠BOE=75°，
∵∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOC=$\frac{1}{3}$×60°=20°，
∴∠DOE=∠COD+∠BOC-∠BOE，
=20°+60°-75°，
=5°，
综上所述，∠DOE=35°或5°；
（2）∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，
∴∠MOD=$\frac{1}{2}$∠AOD，∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC，
又∠MOC=∠MOD-∠COD，∠NOD=∠CON-∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=（∠MOD-∠COD）-（∠CON-∠COD），
=$\frac{1}{2}$∠AOD-∠COD-（$\frac{1}{2}$∠BOC-∠COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠BOC），
而∠AOD=∠AOC+∠COD，∠BOC=∠BOD+∠COD，
∴∠MOC-∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠COD-∠BOD-COD），
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOD），
∴（∠AOC-∠BOD）/（∠MOC-∠NOD）=$\frac{∠AOC-∠BOD}{\frac{1}{2}（∠AOC-∠BOD）}$=2；
（3）①当∠BOB1＜90°时，
∵∠BOB1=6t，
∴∠AOB1=150°+6t，
∵OE平分∠AOB1，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}∠$AOB1=$\frac{1}{2}$（150°+6t）=75°+3t，
∵∠C1OB1=360°-∠C1OB1=180°-6t，
∵∠C1OF=$\frac{1}{3}$∠C1OB1，
∴∠C1OF=60°-2t，
∵|∠C1OF-∠AOE|=30°，
∴75°+3t-60°+2t=30°或60°-2t-75°-3t=30°，
∴t=9，
②当∠BOB1＞90°时，
同理t=15，
故答案为：9秒或15秒．
点评 本题主要考查的是角的计算，根据OD的位置进行分类讨论是解题的关键．
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下面的框图表示解方程3x+20=4x-25的流程．第1步的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．