Question

19．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②BE=DE；③AC•BE=12；④3BF=4AC；⑤$\frac{DE}{DA}$=$\frac{3}{4}$．其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用相似三角形的判定方法逐一分析：
由∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC判定①；
用反证法假设BE=DE，得出AC的值判断②
易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，进而得出AC的长，即可得出④答案；
连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解得出③；
BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜边上的中线的性质判断⑤．

解答 解：∵∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故①正确；
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{4}{3}$，
∴设AB=4x，则AC=3x，
在直角△ABC中，AC²+BC²=AB²，则（3x）²+49=（4x）²，
解得：x=$\sqrt{7}$，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：$\sqrt{7}$，故⑤不正确；
∵∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，
∵DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=12．
故③正确；
连接DM，

在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，
则DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，
∴3BF=4AC．
故④正确．
假设BE=DE，则∠EBD=∠EDB
∵MD∥AC，
∴△ADM是直角三角形
∴∠BDE+∠EDM=90°
又∵∠EBD+∠EMD=90°
∴∠EDM=∠EMD
∴EM=ED
∵DM是Rt△ADE斜边的中线
∴MD=ME
∴△EMD是等边三角形
∴∠ABC=30°
∵BC=7
∴AC=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$
前面已证AC=3x=3$\sqrt{7}$，矛盾
所以假设不成立，②错误
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选：D．

点评 此题考查三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判断方法与性质运用是解决问题的关键．