Question

1．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴正半轴相交于点A（1，0）、B，与y轴相交于点C（0，-2）．
（1）求抛物线解析式．
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ=AC．

Answer 1

分析 （1）把点A、C的坐标代入函数解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据点与坐标的性质以及“两角法”证得结论；
（3）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解：①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值．
②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点 A（1，0）、点C（0，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$；

（2）证明：∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2）．
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OC}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$
又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB．

（3）设经过t秒后，PQ=AC．
由题意得：AP=DQ=t．
∵A（1，0）、B（4，0），
∴AB=3，
∴BP=3-t‘
∵CD∥x轴，点C（0，-2）
∴点D的纵坐标为-2．
∵点D在抛物线y=$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x-2$上，
∴D（5，-2），
∴CD=5，
∴CQ=5-t
①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC．
t=5-t∴t=2.5．
②连结BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，
PQ=BD=AC．t=3-t，
∴t=1.5．
所以，经过2.5秒或 1.5秒时，PQ=AC．

点评 本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰梯形和平行四边形的性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．