Question

6．图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，以三边为边长作正方形，则所得的六边形DEFGHI的面积为74．

Answer 1

分析 根据勾股定理计算出AC=4，再利用四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根据正方形的性质得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可计算出S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，利用周角的定义可计算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，根据全等三角形的性质和等量代换可得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，然后把六边形DEMHGF内的各部分的面积相加即可．

解答 解：如图，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S_{正方形ABDE}=4²=16，S_{正方形ACHM}=5²=25，S_{正方形BCGF}=3²=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
过I作IM⊥DA交DA的延长线于M，
∴∠M=∠ABC=90°，
∵∠DAI+∠MAI=∠DAI+∠BAC=180°，
∴∠IAM=∠BAC，
在△AMI与△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠ABC}\\{∠BAC=∠MAI}\\{AC=AI}\end{array}\right.$，
∴△AMI≌△ABC，
∴AB=AM，
∴AD=AM，
∴S_△AMI=S_△ABC=S_△ADI，
同理S_△BEF=S_△ABC，S_△CHG=S_△ABC，
∴S_△DBF=S_△MAE=S_△HCG=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴六边形DEMHGF的面积=25+16+9+4×6=74．
故答案为：74．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，证得△AMI≌△ABC是解题的关键．