Question

6．如图，在?ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：
（1）△ABE≌△FCE；
（2）$\frac{△ABE的周长}{△AFD的周长}=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD=BC，AB=CD，由平行线的性质证出∠FAB=∠F，由AAS证明△ABE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF，BF=CE，AB=CD=CF，因此AD=2BE，DF=2AB，AF=2AE，即可得出结论．

解答 证明：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠FAB=∠F，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$AD，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠FEC}&{\;}\\{∠FAB=∠F}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS）．
（2）由（1）得：△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，BF=CE，AB=CD=CF，
∴AD=2BE，DF=2AB，AF=2AE．
∴$\frac{△ABE的周长}{△AFD的周长}=\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．