Question

16．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．

Answer 1

分析 作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．

解答 解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：

∵∠ACB=90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴∠BDH=∠A，
∵AD：DB=3：1，
∴BH：BC=BD：BA=1：4，
设BH=x，则BC=4x，CH=3x，
∵∠C=90°，$tanA=\frac{1}{2}$，∠BDH=∠A，
∴DH=2x，
∵DH⊥BC，
∴cot∠DCB=$\frac{CH}{DH}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$，
即cot∠DCB=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．