Question

5．已知：如图，在△ABC中，∠CAB=2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．若α=21°，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明．

Answer 1

分析 在AB上截取AD，使AD=AC，连接CD，证△ACP≌△ADP，推出∠C=∠3，求出∠4=∠5，推出PB=DB，即可推出答案．

解答 解：AB-AC=PB．
理由：在AB上截取AD，使AD=AC．

∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2．
在△ACP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠1=∠2}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△ADP．
∴∠C=∠3．
∵△ABC中，∠CAB=2α=2×21°=42°，∠ABC=32°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．
∴∠3=106°．
∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°．
∴∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°．
∴∠4=∠5．
∴PB=DB．
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，证得△ACP≌△ADP以及∠4=∠5是解题的关键．