Question

6．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，E为BC上一点，连接AE与OC交于点D，∠CAE=∠CBA．
（1）求证：AE⊥OC；
（2）若⊙O的半径为5，AE的长为6，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质和垂直的定义即可得到结论；
（2）由△ACE∽△BCA，得到比例式$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，设AC=5x，CE=3x，由勾股定理求得AE=$\sqrt{（5x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{34}$x=6，得到AC=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$，再由三角形相似即可得到结果．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠CAE=∠CBA，
∴∠CAE+∠CAB=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAE+∠ACO=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AE⊥OC；

（2）解：∵∠CAE=∠CBA，∠ACB=∠ACE，
∴△ACE∽△BCA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=5x，CE=3x，
∴AE=$\sqrt{（5x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{34}$x=6，
∴x=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$，
∴AC=$\frac{15\sqrt{34}}{17}$，
∵∠CAE=∠CAD，∠ACE=∠ADC，
∴△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AE}$=$\frac{75}{17}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直的定义，找准相似三角形是解题的关键．