Question

14．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点F的位置，AF与CD交于点E 
（1）找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）已知AD=4，CD=8，求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得出CF=BC，∠F=∠B，因此CF=AD，由AAS即可证明△CEF≌△AED；
（2）由△CEF≌△AED，得出CE=AE，设CE=AE=x，则DE=8-x，在Rt△AED中，根据勾股定理得出方程，解方程求出CE，即可得出△AEC的面积．

解答 （1）解：△CEF≌△AED；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=90°，
由折叠的性质得：CF=BC，∠F=∠B，
∴CF=AD，∠F=∠D，
在△CEF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠D}&{\;}\\{∠CEF=∠AED}&{\;}\\{CF=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△AED（AAS）；
（2）解：∵△CEF≌△AED，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，则DE=8-x，
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴CE=5，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$CE×AD=$\frac{1}{2}$×4×5=10．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．