Question

4．已知函数的关系式是L₁：y=kx²+（k-2）x-2
（1）下列说法中正确的序号有②③：
①当k=1时，其顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
②当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；
③无论k为何非零值，二次函数都经过（-1，0）和（0，-2）；
（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
（3）已知二次函数L₁的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P
①若k＞0，且△ABP为等边三角形，求k的值；
②若抛物线L₂与抛物线L₁关于原点成中心对称，且抛物线L₂与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，把y=x²-x-2配成顶点式即可对①解析判断；
当k=2时，y=2x²-2，抛物线的对称轴为y轴，则可对②解析判断；
根据二次函数图象上点的坐标特征对③解析判断；
（2）分类讨论：当k=0时，原函数为一次函数y=-2x-2，则图象一定与x轴有一个交点；当k≠0时，利用判别式的意义可判断二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
（3）利用抛物线与x轴的交点问题，解方程kx²+（k-2）x-2=0可得A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），顶点P的坐标为（$\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），
①当k＞0时，AB=$\frac{2}{k}$+1，如图1，作PE⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{2}{k}$+1），解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，所以k的值为2$\sqrt{3}$-2；
②根据关于原点成中心对称的点的坐标特征得到C（-$\frac{2}{k}$，0），D（1，0），所以点B（-1，0），D（1，0）为定点，点A（$\frac{2}{k}$，0），C（-$\frac{2}{k}$，0）为动点，然后分类讨论：当k＞0时，若点B、D为线段AC的三等份点时，AC=3CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=3×2；当点A、C为线段BD的三等份点时，AC=$\frac{1}{3}$CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=$\frac{1}{3}$×2，然后分别解关于k的方程求出k的值；当k＜0时，用同样的方法求k的值．

解答 （1）解：当k=1时，y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，此时顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），所以①错误；
当k=2时，y=2x²-2，则抛物线的对称轴为y轴，所以②正确；
当x=-1时，y=kx²+（k-2）x-2=k-k+2-2=0；当x=0时，y=kx²+（k-2）x-2=-2，所以无论k为何非零值，二次函数都经过（-1，0）和（0，-2），所以③正确；
故答案为②③；
（2）证明：当k=0时，一次函数y=-2x-2与x轴有一个交点（-1，0）；
当k≠0时，△=（k-2）²-4k•（-2）=（k+2）²≥0，此二次函数图象与x轴有交点，
所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
（3）k≠0，
当y=0时，kx²+（k-2）x-2=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{2}{k}$，
设A（$\frac{2}{k}$，0），B（-1，0），顶点P的坐标为（$\frac{2-k}{2k}$，-$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$），
①当k＞0时，AB=$\frac{2}{k}$+1，如图1，作PE⊥x轴于E，
∵△ABP为等边三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴$\frac{（k+2）^{2}}{4k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{2}{k}$+1），
即（k+2）²=2$\sqrt{3}$（k+2），解得k₁=-2（舍去），k₂=2$\sqrt{3}$-2，
∴k的值为2$\sqrt{3}$-2；
②存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点．
∵抛物线L₂与抛物线L₁关于原点成中心对称，
∴点A和点B关于原点的对称点为C、D，
∴C（-$\frac{2}{k}$，0），D（1，0），
∴点B（-1，0），D（1，0）为定点，点A（$\frac{2}{k}$，0），C（-$\frac{2}{k}$，0）为动点，
A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点，
当k＞0时，
当点B、D为线段AC的三等份点时，AC=3CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=3×2，解得k=$\frac{2}{3}$；
当点A、C为线段BD的三等份点时，AC=$\frac{1}{3}$CD，即$\frac{2}{k}$-（-$\frac{2}{k}$）=$\frac{1}{3}$×2，解得k=6；
当k＜0时，同理可得k=-$\frac{2}{3}$或k=-6，
综上所述，k的值为±$\frac{2}{3}$，±6．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质；记住关于原点对称的点的坐标特征；学会用分类讨论的思想解决数学问题．