Question

10．如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为3，BC=2，AB=6．
（1）数轴上点A表示的数为-5，B表示的数为1；
（2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=$\frac{2}{3}$CQ，设运动时间t（t＞0）秒．
   ①求数轴上M、N表示的数（用含t的式子表示）；
   ②t为何值时，原点O恰好是线段PQ的中点．

Answer 1

分析 （1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；
（2）①根据题意画出图形，表示出AP=6t，CQ=3t，再根据线段的中点定义可得AM=3t，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CN=$\frac{2}{3}$CQ可得CN=t，根据线段的和差关系可得到点N表示的数；
②此题有两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时；当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，分别画出图形进行计算即可．

解答 解：（1）∵C表示的数为3，BC=2，
∴OB=3-2=1，
∴B点表示1．
∵AB=6，
∴AO=6-1=5，
∴A点表示-5．
故答案为：-5，1；

（2）①由题意得：AP=2t，CQ=t，如图1所示：
∵M为AP中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AP=t，
∴在数轴上点M表示的数是-5+t，
∵点N在CQ上，CN=$\frac{2}{3}$CQ，
∴CN=$\frac{2}{3}$t，
∴在数轴上点N表示的数是3-$\frac{2}{3}$t；

②由题意得，AP=2t，CQ=t，分两种情况：
i）如图2所示：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时，OP=5-2t，OQ=3-t，
∵O为PQ的中点，
∴OP=OQ，
∴5-2t=3-t，
解得：t=2．
当t=2秒时，O为PQ的中点；
ii）如图3所示：当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，OP=2t-5，OQ=t-3，
∵O为PQ的中点，
∴OP=OQ，
∴2t-5=t-3，
解得：t=2，
此时AP=4＜5，
∴t=2不合题意舍去．
综上所述：当t=2秒时，O为PQ的中点．

点评 此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解．