Question

3．阅读材料：
已知两数的和为4，求这两个数的积的最大值．
（1）解：设其中一个数为x，则另一个数为（4-x），令它们的积为y，则：
y=x（4-x）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4．
∵-1＜0，
∴y_最大值=4．
问题解决：
（1）若一个矩形的周长为20cm，则它面积的最大值为25cm²．
（2）观察下列两个数的积，猜想哪两个数 积最大，并用二次函数的知识说明理由：
99×1.98×2.97×3.96×4，…，50×50．
拓展应用：
（3）若m、n为任意实数，则代数式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，此时，m和n之间的关系式是m=2n+4．

Answer 1

分析 （1）先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可；
（2）列举法可以得出50×50=2500最大，然后用二次函数的知识说明理由即可；
（3）设y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，则y=-（m-2n）²+8（m-2n），根据二次函数的顶点公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵设矩形的一边长为xcm，则另一边长为（10-x）cm，
∴其面积为s=x（10-x）=-x²+10x=-（x-5）²+25，
∴当x=5时，s_最大=25．
∴当矩形的长为5cm时，面积有最大值是25cm²．
故答案为：25；

（2）50×50=2500的乘积最大，
猜想验证，∵两个数的和为100，当两个数分别为50时，乘积最大．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m-x，由题意，得
n=x（m-x），
n=-x²+mx，
n=-（x-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}$；
∴a=-1＜0，
∴当x=$\frac{m}{2}$时，n_最大=$\frac{{m}^{4}}{4}$；

（3）设y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，
则y=-（m-2n）²+8（m-2n），
当m-2n=-$\frac{8}{2（-1）}$=4时，
y_最大=$\frac{-64}{4×（-1）}$=16，
∴代数式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，m和n之间的关系式是m=2n+4，
故答案为：16，m=2n+4．

点评 此题考查的是二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数的解析式是解答此题的关键．