如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=10.BC=30.动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动.动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动.连接PQ.点P.Q分别从点B.C同时出发.当其中一点到达端点时.另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒．(1)当t=5秒时.三角形△PCQ的面积最大．(2)在整个运动过程中.线段PQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t=5秒时，三角形△PCQ的面积最大．
（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为5$\sqrt{10}$．

分析（1）根据题意得到CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，根据三角形的面积公式得到S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，根据二次函数的顶点坐标公式即可得到结论；
（2）线段PQ的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长．

解答解：（1）∵CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，
∵∠C=90°，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，
当t=-$\frac{15}{-2×\frac{3}{2}}$=5时，三角形△PCQ的面积最大；

（2）线段PQ的中点所经过的路程是线段MN的长，如图所示：
当P在B处，Q在C处时，PQ的中点为BC的中点，当点Q运动10秒时，P、Q停止运动，
PQ的中点为N，P到达D，Q到达A，
过点A作AE∥MN交BC于点E，
此时CD=30-3×10=0，
∴MD=15-0=15，
∵N是AD的中点，
∴M是DE的中点，
∴EM=DM=15，MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴CE=0+15+15=30，
∴AE=$\sqrt{3{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∴MN=5$\sqrt{10}$；
即线段PQ的中点所经过的路程长为$5\sqrt{10}$．
故答案为：5，5$\sqrt{10}$．

点评本题考查二次函数的应用，勾股定理，三角形面积的计算，三角形中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．

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