Question

4．如图所示，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，l），点D是线段BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=-$\frac{1}{2}$x+b交折线OAB于点E．
（1）若点E在AB边上，求b的取值范围；
（2）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）求（2）中S的最大值；
（4）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，将A、B点坐标代入，可得答案；
（2）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（3）根据函数的最值在函数图象的端点，可得答案；
（4）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化

解答 解：（1））∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），C（0，1），
∴B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b=$\frac{3}{2}$，
若直线经过点B（3，1）时，则b=$\frac{5}{2}$．
点E在AB边上，b的取值范围是$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{5}{2}$；
（2）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=$\frac{3}{2}$
若直线经过点B（3，1）时，则b=$\frac{5}{2}$
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤$\frac{3}{2}$，如图1：
，
此时E（2b，0）
∴S=$\frac{1}{2}$OE•CO=$\frac{1}{2}$×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$，如图2：
，
此时E（3，b-$\frac{3}{2}$），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[$\frac{1}{2}$（2b-2）×1+$\frac{1}{2}$×3（b-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×（5-2b）•（$\frac{5}{2}$-b）]
=$\frac{5}{2}$b-b²，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{b（1＜b≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{5}{2}b-{b}^{2}（\frac{3}{2}＜b＜\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）当1＜b≤$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{3}{2}$；
当$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$时，S=-（b-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
当b=$\frac{3}{2}$时，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$，
综上所述：当b=$\frac{3}{2}$时，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$；
（4）如图3：
，
设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=$\frac{5}{4}$．
∴矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．