Question

16．已知：在△ABC中，D为BC边上一点，B，C两点到直线AD的距离相等．
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，则点D的位置在点D为线段BC的中点；
（2）如图2，若△ABC是任意一个锐角三角形，猜想点D的位置是否发生变化，请补全图形并加以证明；
（3）如图3，当△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且点D满足（2）的位置条件，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）点D为线段BC的中点，根据线段的中点即可解答；
（2）点D的位置没有发生变化；作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，证明△BED≌△CFD，得到BD=DC．即点D是BC边的中点；
（3）AB，AC，AD之间的数量关系为AC²+AB²=4AD²．如图2，延长AD到点H使DH=AD，连接HC．证明△ABD≌△HCD，得到∠1=∠3，AB=CH．再证明∠ACH=90°，得到AC²+CH²=AH²．由DH=AD，得到AC²+AB²=（2AD）²．即可解答．

解答 解：（1）∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD，
故答案为：点D为线段BC的中点；
（2）点D的位置没有发生变化，
证明：如图1，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，

∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠3=∠4=90°，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠3=∠4}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD．
∴BD=DC．即点D是BC边的中点．
（3）AB，AC，AD之间的数量关系为AC²+AB²=4AD²．
证明：如图2，延长AD到点H使DH=AD，连接HC．

∵点D是BC边的中点，
∴BD=DC．
 在△ABD和△HCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠5=∠4}\\{AD=HD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△HCD．
∴∠1=∠3，AB=CH．
∵∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠ACH=90°．
∴AC²+CH²=AH²．
又∵DH=AD，
∴AC²+AB²=（2AD）²．
∴AC²+AB²=4AD²．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．