Question

9．如果a是不为1的数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数为$\frac{1}{1-2}=-1$；-1的差倒数是$\frac{1}{{1-（{-1}）}}=\frac{1}{2}$；已知a₁=4，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃差倒数，…，依此类推，则a₅=$-\frac{1}{3}$，a₂₀₁₆=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先根据新定义规则求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅找到存在的循环性规律，求解即可．

解答 解：a₁=4，a₂=$\frac{1}{1-4}$=$-\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，a₅=$\frac{1}{1-4}$=$-\frac{1}{3}$；
可知：数列以“4，$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$”三个数循环出现，
2016÷3=672（整除），所以a₂₀₁₆=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．

点评 此题主要考查新定义运算和数列的规律探索，准确应用新定义进行计算并找出存在的循环性规律是解题的关键．