Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC=10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA=DC=5，则∠1=∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1=∠DMN，则∠C=∠DMN，然后在Rt△ABC中利用余弦定义求∠C的余弦值即可得到cos∠DMN．

解答 解：连结AD，如图，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA=DC=5，
∴∠1=∠C，
∵∠MDN=90°，∠A=90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1=∠DMN，
∴∠C=∠DMN，
在Rt△ABC中，cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠DMN=$\frac{4}{5}$．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．