Question

19．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．

（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）
（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；
（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）由DE将△ABC分成周长相等的两部分，于是得到AD+AE=CD+BC+BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=$\frac{1}{2}$（a+b+c）；
（2）设AD=x，AE=6-x，根据三角形的面积公式列方程得到$\frac{1}{2}$x（6-x）•$\frac{4}{5}$=3，解得x₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，即可得到结论；
（3）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，由$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，
∴AD+AE=CD+BC+BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=$\frac{1}{2}$（a+b+c）；

（2）设AD=x，AE=6-x，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•AE•sinA=3，
即：$\frac{1}{2}$x（6-x）•$\frac{4}{5}$=3，
解得：x₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，
∴AD=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$；

（3）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$b$+\frac{\sqrt{2}}{2}$c=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴$\frac{a}{b+c}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的周长和面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．