Question

11．若两个二次函数的图象经过适当地上下平移能完全重合则称这两个二次函数为“同位二次函数”．
（1）请写出两个“同位二次函数”，并说明理由；
（2）已知二次函数y=2x²-4x+6的一个“同位二次函数”图象的顶点在x轴上，求这个“同位二次函数”；
（3）已知关于x的两个二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函数”，且函数y₁与函数y₁+y₂图象的顶点相同，求c₂（用含a₁，b₁，c₁的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）可写出一个顶点在y轴上的两个二次函数构成“同位二次函数”，如二次函数y=x²和二次函数y=x²+1；
（2）先根据二次函数的性质得到抛物线y=2x²-4x+6的顶点坐标为（1，4），再根据“同位二次函数”的定义把顶点平移到x轴即可得到原二次函数的一个“同位二次函数”；
（3）根据“同位二次函数”的定义得到y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的对称轴相同，根据新定义得到a₁=a₂，b₁=b₂，则y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，然后利用函数y₁与函数y₁+y₂图象的顶点相同，而它们的横坐标相同得到$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{{b}_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，然后整理后可用含a₁，b₁，c₁的代数式表示c₂．

解答 解：（1）二次函数y=x²和二次函数y=x²+1为“同位二次函数”．理由如下：
因为二次函数y=x²的图象向上平移1个单位即可得到二次函数y=x²+1的图象，所以它们为“同位二次函数”；
（2）y=2x²-4x+6=2（x-1）²+4，则抛物线y=2x²-4x+6的顶点坐标为（1，4），把点（1，4）向下平移4个单位所得对应点（1，0）在x轴上，此时平移后的抛物线解析式为y=2（x-1）²，即y=2x²-4x+2，
所以这个“同位二次函数”为y=2x²-4x+2；
（3）因为y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函数”，
所以a₁=a₂，b₁=b₂，
则y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，
因为函数y₁与函数y₁+y₂图象的顶点相同，而它们的横坐标相同，
所以$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{{b}_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，
所以c₂=$\frac{{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了阅读理解能力．