Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为半径作⊙B，交AB于点D，交AB的延长线于点E，连接CD、CE．
（1）求证：△ACD∽△AEC；
（2）当$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，求tanE；
（3）若AD=4，AC=4$\sqrt{3}$，求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠DCE=90°，而∠ACB=90°，则∠1=∠2，加上公共角，则可判断△ACD∽△AEC；
（2）利用由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$设AC=4k，BC=3k，由勾股定理计算出AB=5k，则AE=8k，再由△ACD∽△AEC，利用相似比得到$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，然后根据正切的定义可得tanE的值；
（3）作CH⊥AE于H，如图，由△ACD∽△AEC，利用相似比得到AE=12，CE=$\sqrt{3}$CD，则DE=AE-AC=8，在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°，则可计算出CD=$\frac{1}{2}$DE=4，CE=4$\sqrt{3}$，接着计算出CH，然后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：∵DE为直径，
∴∠DCE=90°，即∠2+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，即∠1+∠DCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC；
（2）解：由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，设AC=4k，则BC=3k，
∴BD=BE=3k，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5k，
∴AE=AB+BE=5k+3k=8k，
在Rt△CDE中，tanE=$\frac{CD}{CE}$，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{4k}{8k}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanE=$\frac{1}{2}$；
（3）作CH⊥AE于H，如图，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CD}{CE}$，即$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{AE}$=$\frac{CD}{CE}$，解得AE=12，CE=$\sqrt{3}$CD，
∴DE=AE-AC=8，
在Rt△CDE中，∵tanE=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠E=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$DE=4，CE=4$\sqrt{3}$，
在Rt△CHE中，CH=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{3}$，
∴△ACE的面积=$\frac{1}{2}$×12×2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质；会运用相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；记住特殊角的三角函数值．