Question

20．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析 （1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC，即可得到结论．

解答 解：（1）①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；

（2）∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．