Question

17．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．
（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；
（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，证出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在证出△CDE∽△CAD，即可得出结果；
（2）证出△BDF∽△CDE，得出对应边成比例$\frac{BF}{CD}=\frac{BD}{CE}$，即可得出y与x的函数关系式；
（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出$\frac{DF}{DE}=\frac{BD}{CE}$，证出$\frac{DF}{DE}=\frac{CD}{CE}$，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．

解答 解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：
∵AB=AC，D为底边BC的中点，
∴∠B=∠C，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ACD，
∵∠PDQ=∠B，
∴∠PDQ=∠C，
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠CDE+∠PDQ=90°，
∴∠C+∠PDQ=90°，
∴∠CED=90°=∠ADC，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；
（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，
∠FDC=∠FDE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BDF，
∴△BDF∽△CDE，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=6，
∴$\frac{10-x}{6}=\frac{6}{10-y}$
∴y=$\frac{10x-64}{x-10}$；
（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：
由（2）可知：△BDF∽△CDE，
则$\frac{DF}{DE}=\frac{BD}{CE}$，
∵BD=CD，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{CD}{CE}$，
又∵∠EDF=∠C，
∴△DEF∽△CED．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．