Question

14．（1）问题发现：
如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为60°；
②线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE．
（2）拓展探究：
如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，且交BC于点F，连接BE．
①请判断∠AEB的度数并说明理由；
②若∠CAF=∠BAF，BE=2，试求△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数；②延长BE交AC的延长线于点G，推出△ACF≌△BCG，根据全等三角形的性质得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中点，求出AF=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE；

（2）①∠AEB=90°
证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°；
②延长BE交AC的延长线于点G，
由①可知∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°，
在△ACF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG，
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，
∴E是BG的中点，
∵BE=2，
∴AF=4，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}×2×4$=4．

点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．