分析 （1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定△AOE≌△COF（AAS），得出OE=OF；
（2）先延长EO交CF于点G，通过判定△AOE≌△COG（ASA），得出OG=OE，再根据Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，即可得到OE=OF；
（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．
解答 
解：（1）OE=OF．
理由：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）补全图形如右图2，OE=OF仍然成立．
证明：延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
又∵点O为AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=COG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OG=OE，
∴Rt△EFG中，OF=$\frac{1}{2}$EG，
∴OE=OF；
（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．
证明：①如图2，当点P在线段OA上时，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
由（2）可得，OF=OG，
∴△OGF是等边三角形，
∴FG=OF=OE，
由（2）可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF+CG，
∴CF=OE+AE；
②如图3，当点P在线段OA延长线上时，
∵∠OEF=30°，∠EFG=90°，
∴∠OGF=60°，
同理可得，△OGF是等边三角形，
∴FG=OF=OE，
同理可得，△AOE≌△COG，
∴CG=AE，
又∵CF=GF-CG，
∴CF=OE-AE．
点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．
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如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AB=3．查看答案和解析>>
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如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=20°．