Question

【题目】已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求：∠APB的度数．

Answer 1

【答案】150°

【解析】

将△ABP旋转60°得到△BCQ，连接PQ，意证△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，则可求出∠APB．

解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ.

由旋转可知，△BCQ≌△BAP

∴CQ=PA=3，∠BQC=∠APB

∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4，∠PQB=60°
∵PC=5

∴在△PQC中，，42+32=52

即PQ2+QC2=PC2，
∴△PQC是直角三角形

∴∠PQC=90°

∴∠BQC=∠PQB +∠PQC =60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．