Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx-16a+4b交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点C，且OA：OB=2：3．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若∠ABC=2∠ACO，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，取AC中点M，连接BM交y轴于点D，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得△PMC和△PBD的面积比为2：3，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将原抛物线解析式分解因式，计算y=0时，方程的解为：x₁=-4，x₂=$\frac{4a-b}{a}$，得OA=4，由OA：OB=2：3，求出OB=6，写出点A、B的坐标；
（2）先根据：$\frac{4a-b}{a}$=6，求出a和b的关系：b=-2a，代入后得C（0，-24a），根据∠ABC=2∠ACO，作辅助线构建等腰三角形BGC，得∠ACO=∠CGB，利用等角的正切列式求出a的值，从而依次求出b和c的值，写出抛物线的解析式；
（3）作辅助线，构建梯形，根据解析式设P（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8），则N（x，-$\frac{1}{2}$x+3），根据面积公式表示出△PMC和△PBD的面积，利用△PMC：△PBD的面积比为2：3或3：2列式可求得x的值．

解答 解：（1）y=ax²+bx-16a+4b，
=（ax²-16a）+（bx+4b），
=a（x+4）（x-4）+b（x+4），
=（x+4）（ax-4a+b），
当y=0时，（x+4）（ax-4a+b）=0，
x₁=-4，x₂=$\frac{4a-b}{a}$，
∵A在x轴负半轴上，
∴A（-4，0），
∴OA=4，
∵OA：OB=2：3，
∴OB=6，
∴B（6，0）；
（2）由（1）得：$\frac{4a-b}{a}$=6，
b=-2a，
当x=0时，y=-16a+4b=-24a，
∴C（0，-24a），
∴OC=-24a，
如图1，在x轴的正半轴上取一点G，使BC=BG，连接CG，
∴∠BCG=∠CGB，
∵∠ABC=∠BCG+∠CGB，
∴∠ABC=2∠CGB，
∵∠ABC=2∠ACO，
∴∠ACO=∠CGB，
tan∠ACO=tan∠CGB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OG}$，
在Rt△BCO中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（-24a）^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{576{a}^{2}+36}$，
∴$\frac{4}{-24a}$=$\frac{-24a}{6+\sqrt{576{a}^{2}+36}}$，
设576a²=m，则变形为：24+4$\sqrt{36+m}$=m，
解得：m₁=0（舍），m₂=64，
当m=64时，即576a²=64，a=$±\frac{1}{3}$，
由题意得：a＜0，
∴a=-$\frac{1}{3}$，
∴b=-2a=$\frac{2}{3}$，
-24a=-24×（-$\frac{1}{3}$）=8，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8；
（3）如图2，
当x=0时，y=8，
∴C（0，8），
∴OC=8，
∵A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
连接BC，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴BC=AB，
∵M是AC的中点，
∴BM⊥AC，∠ABM=∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ABM=tan∠ACO，
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{OD}{6}=\frac{4}{8}$，
∴OD=3，
∴D（0，3），
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（6，0）、D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
过P作PH⊥OB于H，交BD于N，过M作MQ⊥OA于Q，
设P（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8），则N（x，-$\frac{1}{2}$x+3），
∴PN=PH-NH=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8-（-$\frac{1}{2}$x+3）=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{7}{6}$x+5，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$PN•OB=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{7}{6}$x+5）×6=-x²+$\frac{7}{2}$x+15，
∵M是AC的中点，
∴M（-2，4），
∴MQ=4，
∴S_△PMC=S_梯形MQOC+S_梯形COHP-S_梯形MQHP，
=$\frac{1}{2}$（4+8）×2+$\frac{1}{2}$（8-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8）•x-$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8）（2+x），
=12+$\frac{x}{2}$（-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+16）-（1+$\frac{1}{2}$x）（-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+12），
=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x，
若S_△PMC：S_△PBD=2：3，即2S_△PBD=3_△PMC，
则2（-x²+$\frac{7}{2}$x+15）=3（$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x），
-2x²+7x+30=x²+4x，
3x²-3x-30=0，
x²-x-10=0，
x₁=$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$（舍），
∴P（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{53+\sqrt{41}}{6}$），
若S_△PMC：S_△PBD=3：2，即3S_△PBD=2S_△PMC，
则3（-x²+$\frac{7}{2}$x+15）=2（$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{4}{3}$x），
-3x²+$\frac{21}{2}$x+45=$\frac{2}{3}{x}^{2}$+$\frac{8}{3}$x，
-18x²+63x+270=4x²+16x，
22x²-47x-270=0，
x₁=$\frac{47+\sqrt{25969}}{44}$，x₂=$\frac{47-\sqrt{25969}}{44}$（舍），
∴P（$\frac{47+\sqrt{25969}}{44}$，$\frac{22827-3\sqrt{25969}}{2904}$），
综上所述，点P的坐标为：P（$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{53+\sqrt{41}}{6}$）或（$\frac{47+\sqrt{25969}}{44}$，$\frac{22827-3\sqrt{25969}}{2904}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数与两坐标轴的交点问题、因式分解，与一元二次方程的关系、勾股定理、三角形面积的不同表示方法等知识的综合应用能力；综合性较强，同时利用数形结合的思想解决问题．