Question

20．已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA•OC=OD•CE．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DE}$=1，根据得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OA}$，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠B=∠ADE，
∵$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DE}$=1，
∴△ABC∽△ADE；

（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE，
∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OD}{OA}$，
∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△EOC，
∴DA：CE=OD：OC，
即DA•OC=OD•CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．