Question

9．如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D．
（1）求证：FB²=FE•FA；
（2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比．

Answer 1

分析 （1）要证明FB²=FE•FA，只要证明△FBE∽△FAB即可，根据题目中的条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决；
（2）根据（1）中的结论可以得到AE的长，然后根据△ABE与△BEF如果底边分别为AE和EF，则底边上的高相等，面积之比就是AE和EF的比值．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D．
又∵∠CBF=∠D，
∴∠A=∠CBF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△FBE∽△FAB，
∴$\frac{FB}{FA}=\frac{FE}{FB}$
∴FB²=FE•FA；
（2）∵FB²=FE•FA，BF=3，EF=2
∴3²=2×（2+AE）
∴$AE=\frac{5}{2}$
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{5}{4}$，
∴△ABE与△BEF的面积之比为5：4．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．