Question

19．如图，OB、OC是∠AOD的两条射线，OM和ON分别是∠AOB和∠COD内部的一条射线，且∠AOD=α，∠MON=β．
（1）当∠AOM=∠BOM，∠DON=∠CON时，试用含α和β的代数式表示∠BOC；
（2）①当∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON时，∠BOC等于多少？（用含α和β的代数式表示）
②当∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON时，∠BOC等于多少？（用含α和β的代数式表示）
（3）根据上面的结果，请填空：当∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON时，∠BOC=$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α．（n是正整数）（用含α和β的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON，等量代换即可表示出∠BOC的大小；
（2）①当∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON时，等量代换即可表示出∠BOC的大小；②当∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON时，等量代换即可表示出∠BOC的大小；
（3）当∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON时，等量代换即可表示出∠BOC的大小；

解答 （1）∵∠AOM=∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠CON=∠DON=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-$\frac{1}{2}$∠AOB-$\frac{1}{2}$∠COD=∠MON-$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）=∠MON-$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠BOC）=β-$\frac{1}{2}$（α-∠BOC）=β-$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$∠BOC，
则∠BOC=2β-α．
（2）①当∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON时，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{2}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{2}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{2}$（α-β）=$\frac{3}{2}$β-$\frac{1}{2}$α；
②当∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON时，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{3}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{3}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{3}$（α-β）=$\frac{4}{3}$β-$\frac{1}{3}$α；
（3）当∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON时，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{n}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{n}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{n}$（α-β）=$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α；
故答案为：$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α．

点评 此题考查了角的计算，以及角平分线定义，利用了等量代换的思想，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．