Question

17．已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．
（3）若点O点在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形还成立吗？请画图表示．

Answer 1

分析 （1）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；
（2）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；
（3）画出符合条件的两种情况：图③和图④，根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图1，
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）解：若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，
理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，
过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，
此时∠ABC和∠ACB不相等，
∴AB≠AC，
∴△ABC是等腰三角形不一定成立．

点评 本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．