Question

11．阅读材料：已知分式$\frac{3n+8}{n+1}$，化简后结果是整数，符合一切整数的n有哪些？
解：∵$\frac{3n+8}{n+1}$=$\frac{3n+3+5}{n+1}$=3+$\frac{5}{n+1}$．
∴只要求出$\frac{5}{n+1}$是整数，则n+1是5的约数，即n+1=5，n+1=1，n+1=-5，n+1=1．
∴n₁=4，n₂=0，n₃=-6，n₄=2．
（1）已知分式$\frac{2n+9}{n+1}$，化简后结果是整数，符合要求的整数n有哪些？
（2）已知分式$\frac{3{n}^{2}+7n+7}{n+2}$，化简后结果是整数，符合要求的整数n有哪些？

Answer 1

分析 （1）将2n+9写成2n+2+7即2（n+1）+7，类比题意可得整数n的值；
（2）将分子分解因式3n²+7n+7=3n²+7n+2+5=（3n+1）（n+2）+5，类比题意可得整数n的值．

解答 解：（1）∵$\frac{2n+9}{n+1}=\frac{2n+2+7}{n+1}=2+\frac{7}{n+1}$，
∴只要求出$\frac{7}{n+1}$是整数，则n+1是7的约数，即n+1=7，n+1=1，n+1=-7，n+1=-1．
∴n₁=6，n₂=0，n₃=-8，n₄=-2．
（2）∵$\frac{3{n}^{2}+7n+7}{n+2}$=$\frac{3{n}^{2}+7n+2+5}{n+2}=\frac{（3n+1）（n+2）+5}{n+2}$=$3n+1+\frac{5}{n+2}$，
∴只要求出$\frac{5}{n+2}$是整数，则n+2=5，n+2=1，n+2=-5，n+2=-1．
∴n₁=3，n₂=-1，n₃=-7，n₄=-3．

点评 本题主要考查分式的变形规律和分式性质的应用能力，将分子变形是解题关键，属中档题．