Question

9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E是边AD上的点，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，有下列结论：①AD=AB+CD，②E为AD的中点，③BC=AB+CD，④BE⊥CE，其中正确的有②③④．（填序号）

Answer 1

分析 根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分线，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，从而得到∠BEC=90°，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后证明△ABE≌△FDE（ASA），从而可以证明②③正确，AD与BC不一定相等，所以①不正确．

解答 解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-90°=90°，
∴BE⊥CE
故④正确；
如图，延长BE交CD延长线于F，

∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE，
在△BCE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠FCE}\\{EC=EC}\\{∠BEC=∠FEC=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FFE（ASA），
∴BC=FC，BE=FE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
在△ABE与△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}\\{BE=FE}\\{∠AEB=∠FED}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDE（ASA），
∴AB=DF，
∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③正确；
∵△ABE≌△FDE，
∴AE=DE，即点E为AD的中点，故②正确；
∵AD≠BC，
∴AD≠CD+AB，故①错误；
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥CE并作出辅助线是解题的关键．