Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=10，EB=6．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC即可．

解答 （1）证明：过点D作DF⊥AC于F；如图所示：
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B=90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD=DF
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：在Rt△BDE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{DB=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB=FC．
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC，
∴AC=10+6=16．

点评 本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键．