Question

11．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）连接BD，若AD=4，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AB于点E，交BC于点D；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD=4，再根据等边对等角可得∠A=∠DBA=30°，然后再计算出∠CBA的度数，进而可得∠CBD的度数，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AD=2．

解答 解：如图所示：

（2）∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=4，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠DBA=30°，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=60°-30°=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AC=4+2=6．

点评 此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．