Question

20．已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，且tan∠PDB=$\frac{2}{3}$．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

Answer 1

分析 （1）把x=0代入y=kx+3即可求出D的坐标；
（2）设P的坐标为（a，b），可得出OA=a，由OC与CA的比值，表示出OC，确定出C坐标，将C坐标代入直线解析式得到关于k与a的关系式，再由BP=a，BD=3+a，tan∠PDB=$\frac{2}{3}$，利用三角形函数求出a的值，确定出k的值，进而确定出一次函数解析式，将x=a的值代入求出y的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式．
（3）根据图象即可求得．

解答 解：（1）令x=0，则y=3，
∴D（0，3）；
设P（a，b），则OA=OB=a，
∵$\frac{OC}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴C（$\frac{1}{3}$a，0），
∵点C在直线y=kx+3上，
∴0=$\frac{1}{3}$ak+3，即ka=-9，
∵BP=a，BD=3+a，tan∠PDB=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PB}{BD}$=$\frac{a}{3+a}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=6，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴一次函数的表达式为y=-$\frac{3}{2}$x+3；
将x=6代入一次函数解析式得：y=-6，即P（6，-6），
代入反比例解析式得：m=-36，
∴一次函数的表达式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，反比例函数的表达式为y=-$\frac{36}{x}$．、
（3）∵P（6，-6），
∴由图象可知：0＜x＜6时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．