Question

20£®£¨1£©Èçͼ1£¬E¡¢FÊÇÕý·½ÐÎABCDµÄ±ßAB¼°DCÑÓ³¤ÏßÉϵĵ㣬ÇÒBE=CF£¬ÔòBGÓëBCµÄÊýÁ¿¹ØϵÊÇBG=$\frac{1}{2}$BC£®
£¨2£©Èçͼ2£¬D¡¢EÊǵÈÑü¡÷ABCµÄ±ßAB¼°ACÑÓ³¤ÏßÉϵĵ㣬ÇÒBD=CE£¬Á¬½ÓDE½»BCÓÚµãF£¬DG¡ÍBC½»BCÓÚµãG£¬ÊÔÅжÏGFÓëBCµÄÊýÁ¿¹Øϵ£¬²¢ËµÃ÷ÀíÓÉ£»
£¨3£©Èçͼ3£¬ÒÑÖª¾ØÐÎABCDµÄÒ»Ìõ±ßAD=4£¬½«¾ØÐÎABCDÑعýAµÄÖ±ÏßÕÛµþ£¬Ê¹µÃ¶¥µãBÂäÔÚCD±ßÉϵÄPµã´¦£®¶¯µãMÔÚÏ߶ÎAPÉÏ£¨µãMÓëµãP¡¢A²»Öغϣ©£¬¶¯µãNÔÚÏ߶ÎABµÄÑÓ³¤ÏßÉÏ£¬ÇÒBN=PM£¬Á¬½ÓMN½»PBÓÚµãF£¬×÷ME¡ÍPBÓÚµãE£¬ÇÒEF=$\sqrt{5}$£¬ÊÔ¸ù¾ÝÉÏÌâµÄ½áÂÛÇó³ö¾ØÐÎABCDµÄÃæ»ý£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©¸ù¾ÝÈ«µÈÈý½ÇÐεÄÅж¨ºÍÐÔÖʼ´¿ÉµÃ³öÆä¹Øϵ£»
£¨2£©¹ýµãE×÷EH¡ÍBC£¬ÀûÓÃÈ«µÈÈý½ÇÐεÄÅж¨ºÍÐÔÖʽøÐзÖÎöÖ¤Ã÷¼´¿É£»
£¨3£©ÓÉ£¨1£©£¨2£©µÄ½áÂ۵óöEF=$\frac{1}{2}$PB£¬ÔÙÀûÓù´¹É¶¨ÀíµÃ³öABµÄ³¤£¬¼´¿ÉµÃ³öÃæ»ý£®

½â´ð ½â£º£¨1£©BG=$\frac{1}{2}$BC£¬ÀíÓÉÈçÏ£º
¡ßËıßÐÎABCDÊÇÕý·½ÐΣ¬
¡à¡ÏEBG=¡ÏFCG=90¡ã£¬
ÔÚ¡÷EBGÓë¡÷FCGÖУ¬
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CF}\\{¡ÏEBG=¡ÏFCG}\\{¡ÏBGE=¡ÏCGF}\end{array}\right.$£¬
¡à¡÷EBG¡Õ¡÷FCG£¨AAS£©£¬
¡àBG=GC=$\frac{1}{2}$BC£»
¹Ê´ð°¸Îª£ºBG=$\frac{1}{2}$BC£»
£¨2£©GF=$\frac{1}{2}$BC£¬ÀíÓÉÈçÏ£º
¹ýµãE×÷EH¡ÍBC£¬Èçͼ1£º

¡ßµÈÑü¡÷ABC£¬
¡à¡ÏB=¡ÏACB£¬
¡ß¡ÏACB=¡ÏECH£¬
¡à¡ÏB=¡ÏECH£¬
ÔÚ¡÷DBGÓë¡÷ECHÖУ¬
$\left\{\begin{array}{l}{¡ÏDGB=¡ÏCHE=90¡ã}\\{¡ÏB=¡ÏECH}\\{DB=CE}\end{array}\right.$£¬
¡à¡÷DBG¡Õ¡÷ECH£¨AAS£©£¬
¡àDG=EH£¬BG=CH£¬
¡àBC=BG+GC=GH=GC+CH£¬
ͬÀíÖ¤Ã÷¡÷DGF¡Õ¡÷FHE£¬
¡àGF=FH=$\frac{1}{2}$BC£»
£¨3£©ÓÉ£¨1£©£¨2£©µÃ³öEF=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{5}$£¬
ËùÒÔPB=2$\sqrt{5}$£¬
¿ÉµÃPC=$\sqrt{P{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{20-16}=2$£¬
ÒòΪ½«¾ØÐÎABCDÑعýAµÄÖ±ÏßÕÛµþ£¬Ê¹µÃ¶¥µãBÂäÔÚCD±ßÉϵÄPµã´¦£¬
ËùÒÔAP=AB£¬
ÔÚRt¡÷ADPÖУ¬AP²=AB²=AD²+£¨AB-PC£©²£¬
¼´AB²=4²+£¨AB-2£©²£¬
½âµÃ£ºAB=5£®
ËùÒÔ¾ØÐεÄÃæ»ý=20£®

µãÆÀ ´ËÌâÖ÷Òª¿¼²éÕý·½Ðκ͵ÈÑüÈý½ÇÐεÄÐÔÖʼ°È«µÈÈý½ÇÐεÄÅж¨ÓëÐÔÖʵÄ×ÛºÏÔËÓã®ÔÚÓ¦ÓÃÈ«µÈÈý½ÇÐεÄÅж¨Ê±£¬Òª×¢ÒâÈý½ÇÐμäµÄ¹«¹²±ßºÍ¹«¹²½Ç£¬±ØҪʱÌí¼ÓÊʵ±¸¨ÖúÏß¹¹ÔìÈý½ÇÐΣ®