2025年长江作业本同步练习册高中数学必修第一册人教版
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知识点一 子集与真子集
1.子集
（1）定义：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中
任意一个
元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的
子集
。
（2）符号：A
⊆
B（或B
⊇
A）。
（3）读法：A
包含于
B（或B
包含
A）。
答案：（1）任意一个；子集
（2）⊆；⊇
（3）包含于；包含
2.真子集
（1）定义：如果集合A
⊆
B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集。
（2）符号：A
⫋
B（或B
⫌
A）。
（3）读法：A
真包含于
B（或B
真包含
A）。
答案：（1）⊆
（2）⫋；⫌
（3）真包含于；真包含
知识点二 空集的概念
（1）定义：一般地，把不含
任何
元素的集合叫做空集。
（2）符号：
∅
。
（3）规定：空集是任何集合的
子集
。
答案：（1）任何
（2）∅
（3）子集
知识点三 集合相等
（1）定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作
A=B
。
（2）符号：若A⊆B且
B⊆A
，则A=B。
答案：（1）A=B
（2）B⊆A
【微训练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）。
（1）空集中只有元素0，而无其他元素。（
×
）
（2）任何一个集合都有子集。（
√
）
（3）空集是任何集合的真子集。（
×
）
答案：（1）×
（2）√
（3）×
解析：（1）空集不含任何元素，故错误；（2）任何集合都是自身的子集，故正确；（3）空集是任何非空集合的真子集，不是自身的真子集，故错误。
2.下列四个集合中，是空集的为（
B
）
A. {0}
B. {x|x＞8,且x＜5}
C. {x|x²-1=0}
D. {x|x＞4}
答案：B
解析：A含元素0，C含±1，D含大于4的数，B中x＞8且x＜5无解，为空集，故选B。
【微训练】
设$a\in\mathbf{R}$，若集合{2,9}={1 - a,9}，则a=
-1
。
答案：-1
解析：由集合相等可知$1 - a=2$，解得$a=-1$。
知识点四 集合间关系的性质
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A
⊆
A。
（2）对于集合A,B,C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A
⊆
C；
②若A⫋B，B⫋C，则A⫋C。
（3）若A⊆B，A≠B，则A⫋B。
答案：（1）⊆
（2）①⊆
