高考调研衡水重点中学新教材同步学案高中数学人教版新高考
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要点1 元素与集合的概念
(1)元素:一般地,我们把
研究对象
统称为元素,用a,b,c,…表示.
(2)集合:把一些元素组成的
总体
叫做集合,用A,B,C,…表示.
(3)元素a与集合A的关系:a
∈
A或a
∉
A.
答案：(1)研究对象
(2)总体
(3)∈；∉
要点2 常用数集
自然数集(非负整数集)
$\mathbb{N}$
；正整数集
$\mathbb{N}_{+}$或$\mathbb{N}^{*}$
；整数集
$\mathbb{Z}$
；有理数集
$\mathbb{Q}$
；实数集
$\mathbb{R}$
.
答案：$\mathbb{N}$；$\mathbb{N}_{+}$或$\mathbb{N}^{*}$；$\mathbb{Z}$；$\mathbb{Q}$；$\mathbb{R}$
要点3 集合的表示(简单的列举法)
把集合的所有元素
一一列举
出来,并用花括号"{}"括起来表示集合的方法叫做列举法,如集合{a,b,c}.
答案：一一列举
要点4 集合中元素的性质
确定性
,
互异性
,
无序性
,例如:若$a∈\{ a^{2},1\}$,则a=0.
答案：确定性；互异性；无序性
1. 有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教了一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，关于集合的一些定义。”
一天，他看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并关好门，数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合。”
你能理解集合了吗？
答案：1. 首先分析集合的概念：
集合是把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。
对于牧民赶羊进羊圈这件事，羊圈里的羊可以看作一个集合。
每一只羊就是这个集合中的元素。
这些羊具有确定性（能明确知道哪些羊在羊圈里）、互异性（每只羊都是不同的个体）。
2. 然后举例说明：
比如，假设羊圈里有$3$只羊，分别记为羊$a$、羊$b$、羊$c$。
那么这个集合可以表示为$\{a,b,c\}$，其中$a$、$b$、$c$是集合的元素。
所以，集合就像羊圈里所有羊组成的一个整体，每只羊是集合的元素，集合中的元素具有确定性、互异性等特征（答案不唯一，只要围绕集合概念结合羊圈里的羊合理阐述即可）。
2."高一数学课本中的难题"能否构成一个集合？
答案：不能，因为“难题”没有明确的标准，不满足集合元素的确定性。
3.{2,2,3}能否表示一个集合？
答案：不能，因为集合中的元素具有互异性，不能有重复元素。
4.集合{1,2,3}和{3,2,1}以及{1,3,2}是三个不同的集合吗？
答案：不是，因为集合中的元素具有无序性，这三个集合的元素完全相同，是同一个集合。
5.由3,x,$x^{2}$这三个实数
不一定，当x=3时，$x^{2}=9$，集合为{3,3,9}，不满足互异性；当x=0时，集合为{3,0,0}，不满足互异性；当x=1时，集合为{3,1,1}，不满足互异性；只有当x≠3且x≠0且x≠1且x≠-√3且x≠√3时，才能构成集合
一定能构成集合{3,x,$x^{2}$}吗？
答案：不一定，当x=3时，$x^{2}=9$，集合为{3,3,9}，不满足互异性；当x=0时，集合为{3,0,0}，不满足互异性；当x=1时，集合为{3,1,1}，不满足互异性；只有当x≠3且x≠0且x≠1且x≠-√3且x≠√3时，才能构成集合。
6.若集合A={(-2,3)},则3∈A正确吗？
答案：不正确，因为集合A中的元素是有序数对(-2,3)，而3是一个数，不是集合A的元素。
例1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？
(1)接近于2024的数；
(2)大于2024的数；
(3)衡水中学高一(1)班性格开朗的女生；
(4)二十国集团的成员国；
(5)函数$y=x^{2}$图象上的点.
答案：(1)不能，“接近于”没有明确标准，不满足确定性。
(2)能，“大于2024”是明确的标准，满足集合元素的确定性。
(3)不能，“性格开朗”没有明确标准，不满足确定性。
(4)能，二十国集团的成员国是确定的，满足集合元素的确定性。
(5)能，函数$y=x^{2}$图象上的点是确定的，满足集合元素的确定性。
