高考调研衡水重点中学新教材同步学案高中数学人教版新高考
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例4 (1)集合{a，a²}中，实数a的取值范围是____.
(2)已知A={a-2，2a²+5a，12}，且-3∈A，求实数a的值.
答案：(1)a≠0且a≠1
(2)a=-1
(1)由集合元素的互异性可得a≠a²，即a² - a ≠ 0，a(a - 1) ≠ 0，解得a≠0且a≠1。
(2)因为-3∈A，所以分两种情况：
①若a - 2 = -3，则a = -1，此时2a² + 5a = 2×(-1)² + 5×(-1)=2 - 5=-3，集合A={-3，-3，12}，不满足互异性，舍去。
②若2a² + 5a = -3，则2a² + 5a + 3 = 0，(2a + 3)(a + 1)=0，解得a=-1或a=-3/2。a=-1时，由①知不满足互异性，舍去；a=-3/2时，a - 2=-3/2 - 2=-7/2，集合A={-7/2，-3，12}，满足互异性，所以a=-3/2。
思考题4 (1)已知集合A中含有两个元素：1和a²，则实数a的取值范围是____.
(2)已知集合A={0，1，x}，若x²∈A，求实数x的值.
(3)已知集合A={x，y}，B={2，2x}，如果A，B表示同一个集合，求实数x，y的值.
答案：(1)a≠±1
(2)x=-1
(3)x=2,y=4或x=0,y=2
(1)由集合元素的互异性可得a²≠1，解得a≠±1。
(2)因为x²∈A，所以x²=0或x²=1或x²=x。
①x²=0，x=0，集合A={0，1，0}，不满足互异性，舍去。
②x²=1，x=1或x=-1，x=1时，集合A={0，1，1}，不满足互异性，舍去；x=-1时，集合A={0，1，-1}，满足互异性。
③x²=x，x=0或x=1，由①②知均不满足互异性，舍去。综上，x=-1。
(3)因为A，B是同一个集合，所以元素相同。则有两种情况：
①x=2，y=2x，此时y=4，集合A={2，4}，B={2，4}，满足题意。
②x=2x，y=2，解得x=0，y=2，集合A={0，2}，B={2，0}，满足题意。
综上，x=2，y=4或x=0，y=2。
1.判断对错(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在一个集合中不能找到两个相同的元素.（
√
）
(2)集合{2，3}与集合{3，2}表示同一个集合.（
√
）
(3)由方程$x^{2}-4=0$和x - 2=0的根组成的集合中有3个元素.（
×
）
(4)由形如x=3k + 1(k∈$\mathbb{Z}$)的数组成集合A，则1，-1，-11这三个元素都属于集合A.（
×
）
答案：(1)√
(2)√
(3)×
(4)×
(1)集合元素具有互异性，所以正确。
(2)集合元素具有无序性，所以正确。
(3)方程$x^{2}-4=0$的根为x=2和x=-2，方程x - 2=0的根为x=2，组成的集合为{-2，2}，有2个元素，所以错误。
(4)当k=0时，x=1；当k=-1时，x=-2∉{-1}；当k=-4时，x=3×(-4)+1=-11，所以-1不属于集合A，错误。
2.【多选题】给出下列关系中正确的有（
AD
）
A.$\frac{1}{3}∈\mathbb{R}$
B.$\sqrt{3}∈\mathbb{Q}$
C.-3∉$\mathbb{Z}$
D.$-\sqrt{3}∉\mathbb{N}$
答案：AD
A.$\frac{1}{3}$是实数，所以$\frac{1}{3}∈\mathbb{R}$正确。
B.$\sqrt{3}$是无理数，不属于有理数集$\mathbb{Q}$，所以错误。
C.-3是整数，属于整数集$\mathbb{Z}$，所以错误。
D.$-\sqrt{3}$不是自然数，不属于自然数集$\mathbb{N}$，所以正确。
3.若集合A={-x，|x|}，则x应满足（
A
）
A.x＞0
B.x＜0
C.x=0
D.x≤0
答案：A
若x＞0，则-x＜0，|x|=x＞0，集合A={-x，x}，有两个元素；若x=0，则集合A={0，0}，不满足互异性；若x＜0，则-x＞0，|x|=-x＞0，集合A={-x，-x}，不满足互异性。所以x＞0，选A。
4.“young”中的字母构成一个集合，该集合中的元素有
5
个；“book”中的字母构成一个集合，该集合中的元素有
3
个.
答案：5；3
“young”中的字母为y，o，u，n，g，共5个不同字母，所以元素有5个；“book”中的字母为b，o，k，共3个不同字母，所以元素有3个。
5.已知集合A中含有两个元素：a - 3和2a - 1，a∈$\mathbb{R}$.
(1)若-3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值.
答案：(1)a=0或a=-1
(2)a=1
(1)因为-3∈A，所以a - 3=-3或2a - 1=-3。
当a - 3=-3时，a=0，此时2a - 1=-1，集合A={-3，-1}，满足题意；
当2a - 1=-3时，2a=-2，a=-1，此时a - 3=-4，集合A={-4，-3}，满足题意。
所以a=0或a=-1。
(2)因为a∈A，所以a=a - 3或a=2a - 1。
a=a - 3时，0=-3，无解；
a=2a - 1时，a=1，此时集合A={1 - 3，2×1 - 1}={-2，1}，满足题意，所以a=1。
